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　　要是s=1呢？

　　ζ（1）会等于无穷大！

　　也就是说，调和级数是发散的！

　　但在这个推导过程中，是包含一个前提的，——就是ζ（s）是一个有限值，或者说ζ（s）是收敛的。

　　只有在这个前提之下，才能将它当成一个正常的数进行各种操作，例如乘以1- f（2），消去所有包含2n的项。

　　假如ζ（s）是发散的，这样的操作就是毫无意义的，这会带来各种各样的错误结果。

　　被人调侃的全体自然数之和等于-1/12，便是这样计算出来的错误之一。

　　那么，全体自然数之和等于-1/12，又是怎么被人证明出来的呢？

　　这就要说到黎曼了。

　　黎曼是德国著名的数学家，数学王子高斯的弟子。

　　黎曼在二十八岁时发表了题为《论作为几何学基础的假设》的演说，就此创立了黎曼几何学。他将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体，后来，爱因斯坦也是运用黎曼几何和张量分析工具，才创立了新的引力理论——广义相对论。

　　全体自然数之和等于-1/12，就是黎曼在运用欧拉乘积公式中偶然得到的副产品。

　　正是在这个错误的结果的启迪之下，黎曼对欧拉乘积公式的运用提出了四条脉络。

　　一，应该把ζ（s）中的自变量s理解为复数，而不只是实数。

　　二，可以通过解析延拓，让ζ（s）在s小于1的地方也获得定义。

　　三，通过对ζ（s）的研究，可以对小于等于某个数的质数的个数，给出一个明确的表达式，在这个表达式中唯一未知的就是ζ（s）的零点的位置。

　　四，黎曼猜测ζ（s）的零点都位于某些地方。

　　由此可见，黎曼在欧拉ζ函数上的研究上，显然是比欧拉更进一步的。

　　他在加入解析延拓之后，使得ζ（s）在s小于1的地方获得定义。

　　由此，欧拉ζ函数也就升级成了黎曼ζ函数。

　　解析延拓又是什么呢？

　　解析延拓就是扩大一个函数的定义域，使得该函数在一些原本没有定义